彭加列说，如果科学家可以随心所欲地拥有无限的时间，只需要告诉他好好注意观察。但既然没有时间去观察每样事物，而且与其错看不如不看，对他来说，还是必须做一个选择。
彭加列确定了一条规则：有一个事实的层级存在。
一个事实愈普通，愈是值得珍惜。
那些能够多次运用的比很难再次出现的更好。比如，生物学家若是建构了这样一个科学，它只有个体而无种族，而遗传又不能使小孩
于我们身上，从而使我们无法察觉相反的命题，或者我们会以它为基础建立一个理论组织。不会有非欧几里得几何学。
我们应该就此下结论，说几何学公理是实验性的真理吗？彭加列还是认为并非如此。如果它们是，那么当新的实验资料进来时，它们会倾向于持续的变化和修正。这似乎跟几何学自身的整个本质相反。
彭加列下结论道，几何学的公理是"传统"，我们在所有可能的传统中所做出的选择是由实验事实所指导的，但是它仍保有自由之身，并被避免所有矛盾的必要性所限制。因此，也就是说，即使实验规则决定了它们的被采纳只是近似的，假设仍然可以保持严密的真实。
换句话说，几何学的公理不过是化装过的定义。
然后，既已认同了几何学公理的本质，他转而考虑这个问题，欧几里得几何学是真的还是黎曼几何学是真的？他回答：这问题毫无意义。
这好像我们这么问：是否英尺制是对的而常衡制是错的？是否笛卡儿坐标是对的而极坐标是错的？一个几何学不可能比另一个更正确；它只可能是更方便。几何学不是真实的，它只是更先进的。
然后彭加列继续验证其他科学概念的传统本质，例如空间与时间。他告诉我们，测量这些实体时，没有任何一种方式会比其他方式更真实；通常被采纳者只是更方便的。
我们对空间与时间的概念也只是定义，是在它们处理事实的方便性基础上所做出的选择。
然而，我们对最基础的科学概念尚未彻底理解。时间和空间是什么的奥秘，可能通过这个解释变得更可理解了，可是现在维持宇宙次序的负担落在了"事实"身上。那么事实是什么呢？彭加列继续批判性地检查这些。他问，什么事实是你将要去观察的？它们有种无限性。与一只猴子坐在打字机前以产生祈祷诗篇的机会相比，未经抉择便对事实进行观察以产生科学的机会，不会更多。
这点对于前提来说一样真实。哪些前提？彭加列写道："如果一个现象承认一个完全机械的解释，它也会承认其他解释的无限性，这些解释同样说明了实验所揭示的全部特质。"这正是斐德洛在实验室里所做的陈述；正是它引发了后来使他被退学的那个问题。
