保证了我们存身
，尝试过一大串组合，但是没有达成任何结果。
然后有一个晚上，很不寻常地，他喝了黑咖啡却睡不着。观念成群结队地产生。他感到它们互相撞击直到成双成对地联结，也就是所谓的有了稳定的组合。
第二天早晨他只需要写出结果。结晶的波浪产生了。
他描述了第二波的结晶怎么发生的，那是由已建立的数学类比所引导的，产生了他后来命名的数学函数。他离开他居住的凯恩，参加地质学的远足。旅途中的变化使他忘记了数学。在他进公共汽车之前，当他把脚放上台阶的那一刻，没有任何他先前的思考铺路，观念便跑向了他。这就是他曾用来定义这数学函数的转化，跟非欧几里得几何学的转化恒等。他说，他并未确认这观念，他只是在公共汽车上继续交谈，但是他感到一阵完美的确定感。之后，他利用闲暇验证了这个结果。
后来另一个发现出现在他在海边高地散步时。它以同样简明、突然和立即的确定性的特色发生在他身上。另一个伟大发现出现在他走下一条街道之际。
其他人赞颂这过程是天才的神秘工作，但是彭加列并不满意于这样一种肤浅的解释。他试着去深入探索所发生的事。
他说数学不只是应用规则的问题，不仅仅是科学而已。它不只根据某些固定的规律去做最多可能的组合。如此得来的组合会是过量的、无用而且累赘的。
发明者的真实工作在于选择这些组合，以便减少无用者，或者设法避免制造它们的麻烦，而指引这选择的规则是极其精致讲究的。几乎不可能精确地描述它们；它们必须被感觉而非被陈述。
然后彭加列假设这个选择是由他所谓的"潜意识自我"所做出的，一个跟斐德洛所谓的先知先觉的觉察刚好符合的实体。彭加列说，"潜意识自我"注视着一个问题的一大串解决方案，但是只有有趣的可以闯进意识领域内。数学解答是由潜意识自我所选择的，是基于"数学之美"，数字与形式的和谐，以及几何学的优雅。彭加列说："这是一个所有数学家都知道的真实的美感，可是世俗者对此是如此无知以至于经常想笑。"但是这和谐、这美丽，是它整个的核心。
彭加列清楚地说明，他不是在谈浪漫美，震撼感官的外表美。他是在谈古典美，它从部分的和谐秩序中所生，是一种可以把握的纯粹智慧；它给浪漫美以结构，没有了它生命会变得模糊无常，变成一场庸俗而无法辨别的梦幻，因为将没有任何依据去做这辨别。正是这特别的古典美的探求，这种宇宙和谐的感觉，使我们选择了更适于贡献给这个和谐的事实。并非是这些事实，而是事物之间的关系造就了宇宙的普遍和谐，这才是惟一的客观实在。
